Wie es zu gravitativer Zeitdilatation kommt
Wir betrachten den freien Fall eines Körpers k mit Ruhemasse m hin zu einem sehr viel massereichern Körper K der Ruhemasse M.Es könnte z.B. K ein Planet sein und k ein Gesteinsbrocken in seiner Umgebung.
Weiterhin sei angenommen, dass über K und k hinaus keine weiteren Gravitationsquellen zu berücksichtigen sind.
Mit v bezeichnen wir die Geschwindigkeit, mit der k auf K hin fällt (genauer: mit der sich der Abstand zwischen k und K verkleinert, denn sie fallen ja beide hin auf den Schwerpunkt des Systems, dessen Bestandteile sie sind).
Die zeitlich konstante Gesamtenergie E des Systems { k, K } stellt sich dar als Summe von potentieller Energie Upot einerseits und Bewegungsenergie Ekin andererseits. Wir denken sie uns normiert auf den Wert 0, so dass dann gilt
Hierbei gilt wegen m << M in guter Näherung
worin G die Gravitationskonstante ist, r der Radius von K, und das Minuszeichen an der potentiellen Energie steht, um daran zu erinnern, dass sie der Energieanteil ist, welcher sich beim Fall der beiden Körper hin zum Schwerpunkt des Systems verringert.
Solange der Abstand der beiden Körper nahezu unendlich groß ist, wird der kinetische Anteil nahezu Null sein. Je näher sie sich aber kommen, desto mehr wird v wachsen und daher potentielle Energie sich in kinetische Energie wandeln. Die Summe beider Energien aber bleibt — der Energie-Erhaltung wegen — konstant.
Wenn wir nun weiter berücksichtigen, dass aus Sicht von K gilt:
so folgt aus diesen drei Gleichungen:
Wie wir nun weiter wissen, haben relativ zu einander bewegte Objekte A und B unterschiedliche Zeitbegriffe, und es gilt
wo tA:B die durch B gemessene Zeit tA von A ist (d.h. die Zeit von A aus Sicht von B).
Wenn wir die oben errechnete Relativgeschwindigkeit von k und K in diese Beziehung für die relativistische Zeitdilatation einsetzen, erhalten wir als gravitative Zeitdilatation (aus Sicht eines Beobachters B auf dem k zugewandten Teil der Oberfläche von K):
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Gravitationspotential