Praktisches & Grundsätzliches zur Informatik

Definition N-dimensionaler Raum

Was ist ein N-dimensionaler Raum (z.B. im Sinne der Physik)?

Unter Dimensionen versteht man Freiheitsgrade, die sich unabhängig von einander (aber in Kombination mit einander) nutzen lassen.


Mathematik definiert den Dimensionsbegriff nur für Räume bestimmter Klassen (niemals aber isoliert für sich alleine).

Wer nun aber als forschender Physiker z.B. die Struktur der Raumzeit immer genauer zu untersuchen wünscht, kann sich natürlich nicht darauf verlassen, dass sie wirklich genau einem der von der Mathematik her bekannten Räume entspricht (schließlich und endlich ist die Bestimmung dieser Struktur ja der Forschungsgegenstand).

Wie aber sollte man dann als forschender Physiker — allgemeiner noch: als jemand, der versucht, was auch immer zu verstehen und zu ordnen — den Dimensionsbegriff definiert sehen?

Hier der Versuch einer Antwort (ein Versuch aber, den man zunächst nur als das Herumspielen mit einer Analogie sehen sollte — präzise werde ich erst im weiter unten auf dieser Seite):


Sei N eine positive ganze Zahl (oder — allgemeiner noch — eine beliebige, nicht notwendig endliche Kardinalzahl größer als Null).

Wir denken uns ein Kunstwerk K, welches entstand wie folgt:




Eine Menge W physikalischer Objekte gilt genau dann als

N-dimensionaler Raum,

wenn es ein Paar (K,G) gibt derart, dass

W sich umkehrbar eindeutig auf A(K,G) abbildet

durch Quantifizierung von N Eigenschaften, deren jede einer Linie aus K entspricht.

(Jede Linie gesehen als Skala zur Quantifizierung einer Eigenschaft)



Warum diese Definition Sinn macht

Wo immer Forscher zu neuer Erkenntnis über real existierende Physik kommen, ist diese neue Erkenntnis vergleichbar mit einer neuen durch den Zufallsgenerator ausgewählten "Ausprägung" – ein kleines Stück der vollen Wahrheit, deren gesamter Rest aber noch lange verborgen sein kann. Je mehr man aber forscht (sprich: je öfter man den Knopf der Fernbedienung drückt) desto mehr Details der vollen Wahrheit offen­baren sich.

Der Zufallsgenerator G entspricht sozusagen dem Forscher, und jede durch ihn gelieferte Ausprägung entspricht einer vom Forscher neu gefundenen Erkenntnis (einer durch die Experimentalphysik tatsächlich beobachteten Konstellation eines Teiles der Natur).

Wichtig ist, dass der Generator als ein Mechanismus funktionieren kann, der wirklich Existierendes von nur Möglichem trennt. Daher wird oben gefordert, dass man ihn so wählen kann, dass er nur gewisse Punkte der Linien im Kunstwerk anzuzeigen in der Lage ist. Die Linien sind kontinuierlich – das Bild aber, das man sieht, wenn man sehr viele vom Generator gezeigte Ausprägungen zusammenfügt (es entspricht der Summe aller bisherigen Ergebnisse des Forschers), kann durchaus eine oder mehrere dieser Linien diskret zeigen.

Dieses aufsummierte Bild (sprich: die Summe all dessen, was Forscher über den zu erforschenden Raum schon wissen) ist zu verstehen als das detaillierteste Modell, zu dem man schon gelangt ist.

Es ist trotzdem nur ein Modell, nicht aber die Wirklichkeit. Die Wirklichkeit ist, was ich oben die Menge W nenne — und die bijektive Abbildung, von der ich spreche, ist die Abbildung der Wirklichkeit auf das Modell.

Die Linien im Kunstwerk entsprechen Koordinatenachsen, und jede vom Generator gelieferte Ausprä­gung ist Punkt im Modell und entspricht deswegen genau einem Punkt des zu erforschenden Raumes W.

Sobald passende Linien, ein passender Generator, und eine bijektive, quantifizierende Abbildung gefun­den wurden, weiß man, dass die Linien unabhängig voneinander variierbaren Aspekten der Wirklichkeit ent­sprechen (was dann N-Dimensionalität der Wirklichkeit bedeutet, genauer: N-Dimensionalität des Modells und die Ge­wiss­heit, dass die Wirklichkeit wenigstens N Dimensionen haben muss (dass einige noch nicht entdeckt und daher im Modell nicht berücksichtigt sind, kann niemals ausgeschlossen werden).

Berücksichtigte Aspekte sind unabhängig, da gefordert wird, dass der Generator so beschaffen sein muss, dass er erlaubte Punkte völlig unkorreliert zueinander auswählt.



Interessant sind folgende Beobachtungen:

  • Einige (im Extremfall alle) Dimensionen des Raumes können endlich sein.
  • Das Modell abstrahiert von — einer möglicherweise gegebenen — Krümmung der Dimensionen.
  • Der Raum kann — in einigen oder gar in all seinen Dimensionen — diskret sein (wie diskret der Raum genau ist, zeigt der Zufallsgenerator G, wenn man ihn frägt, welche Punkte der Linien er auswählen darf).
  • Wenn der Zufallsgenerator G so arbeitet, dass er jeden einzelnen Punkt komplett unabhängig von der Lage aller anderen Punkte wählt, hat das Modell auch mathematisch gesehen wirklich N Dimensionen.


Bitte beachten: Eine Dimension, die nicht diskret ist, entspricht einer der Linien L im Kunstwerk, auf der eine Metrik definiert ist, derart, dass zu jedem durch G auswählbaren Punkt P von L eine beliebig kleine Umgebung existiert, die wenigstens zwei durch G auswählbare Punkte enthält (und damit, wie man leicht beweisen kann, sogar unendlich viele).


Gutes Beispiel eines 4-dimensionalen Raumes in diesem Sinne ist die Raumzeit RZ der allgemeinen oder der speziellen Relativitätstheorie: Als ein Paar (K,G), welches die 4-Dimensionalität von RZ beweist, kann man wählen Note: Diese 4 Geraden vertreten vier unabhängig voneinander modifizierbare Aspekte "räum­licher" (im Beispiel also raumzeitlicher) Lage. Man darf sie dennoch nicht verwechseln mit dem weit spezielleren Fall aufeinander senkrecht stehender Koordinatenachsen oder durch den Raum führenden Geodäten. Erst die nämlich hätten die Eigenschaft, Teilmengen des betrachteten Raumes zu sein.


Nehmen wir jetzt an, man würde einmal Anhaltspunkte dafür finden, dass auch Raum und Zeit stets nur als Menge unteilbarer kleinster Portionen auftreten. Unter der einschränkenden Voraussetzung, dass die Zeit linear (also nicht netzartig) vergeht, wäre sofort klar, wie man den Generator definieren müsste, um zu erzwingen, dass er einer Quantelung der Zeit Rechnung trägt.

Wie aber müsste man ihn modifizieren, damit er auch den Raum als Menge unteilbarer Raumquanten sieht? Was würde das Modell dann unter einem 3-dimensionales Raumquantum zu verstehen haben? Einfach nur kleinste, aneinander geschobene 3-dimensionalen Quader würden es bestimmt nicht sein!

Die Theorie der Schleifen-Quanten-Gravitation versucht eine Antwort, indem sie uns nahelegt, dass der Raum als sog. Spin Network ein an Strickwerk erinnerndes Etwas ist, das sich über die Zeit hinweg erweitert und modifiziert.

Über sog. Basisvektoren definierbare Bezugssysteme (wie man sie von Vektorräumen her kennt), gibt es in solchem Strickwerk nicht.

Wenn dieses Modell zuträfe, müsste man den Raum als 1-dimensional sehen trotzdem sich die Gesamt­heit aller ihn ausmachender Positionen in keiner nahe liegenden Weise als linear angeordnet zeigt.

Wie könnte meine oben gebene Definition des Begriffs N-Dimensionalität dann aber noch anwendbar sein? Nun, ganz einfach: Man muss dazu nur erlauben, dass das Kunstwerk K an Stelle der Linien auch Mengen allgemeinerer Art nutzen darf.

Konkret für unsere Raumzeit müsste K dann bestehen aus einer Menge von Zeitquanten und einer Menge von Raumquanten (bzw. aus nur einer Menge von Raumzeitquanten, wenn Raum und Zeit nicht in der Lage sein sollten, sich unabhängig voneinander zu gestalten).

Wir sehen: Es scheint vernünftig, die unterschiedlichen Dimensionen eines physikalischen Raumes zu sehen als quantifizierbare Aspekte, über die sich jede im Raum mögliche "Position" eindeutig beschreiben lässt. Entscheidend ist nur, dass die Ausprägung jedes dieser Aspekte unabhängig von der Ausprägung aller anderen variieren kann. Die Dimension des Raumes ist dann die kleinste Zahl von Aspekten, die ausreicht, jede "Position" im Raum von jeder anderen zu unterscheiden.

Somit ist der Versuch, einen Raum als N-dimensional zu sehen, nichts anders als der Versuch, ihn rein mengentheorisch als Kreuzprodukt von N Mengen sehen zu können, deren jede entsteht, indem man sich jede "Position" im Raum auf nur einen von N Aspekten reduziert denkt. Diese durch Projektion entstande­nen Mengen aber — und das ist der langen Rede kurzer Sinn — müssen nicht notwendig Mengen reeller Zahlen sein.



Zur Notwendigkeit hintergrund-unabhängiger Modellbildung

Wichtigster Forschungsgegenstand moderner Theoretischer Physik ist heute die Stringtheorie.

Eine ihrer wichtigsten Schwächen, so sagt Lee Smolin, sei die Tatsache, dass es bisher nicht gelang, sie hintergrund-unabhängig zu formulieren [und das, obgleich Hintergrund-Unabhängigkeit eine der schönsten Eigenschaften der Allgemeinen Relativitätstheorie ist].

Lee Smolin — ein Wissenschaftler, der selbst jahrelang auf dem Gebiet der Stringtheorie geforscht hat (18 Veröffentlichungen dazu) — steht dem string-theoretischen Ansatz heute eher skeptisch gegenüber.

Ein Grund seiner Skepsis mag sein, dass er heute Loop Quantum Gravity (deutsch: Schleifenquanten-Gravitation) als besseren Kandiaten für ein Modell sieht, das in der Lage sein könnte, alle uns bisher bekannten physikalischen Gesetze in einem einzigen Ansatz zusammenzuführen. Vor allem sieht er in diesem Modell eher einen Weg, die Gesetze, die den Kosmos regieren, hintergrund-unabhängig zu formulieren (siehe [V]).

Um zu verstehen, was Hintergrund-Abhängigkeit bedeutet — und warum sie hinderlich ist — hier eine Analogie:

Stellen wir uns vor, ein Künstler — Picasso etwa, oder Leonardo da Vinci — habe ein in seiner Vorstellung entstandendes Bild auf eine Leinwand gemalt (und so anderen mitteilbar gemacht). Wer die im Bild ent­haltenen Aussagen zu ergründen versucht, den interessiert es überhaupt nicht, dass Träger des Bildes eine Leinwand ist — ein Hintergrund also, der regelmäßiges Muster aufweist (ein gitterartiges Muster ge­geben durch die Fäden, aus denen die Leinwand gewebt ist). Mit anderen Worten:

Es gilt zu trennen zwischen

Theoretische Physiker, die heute beginnen zu fragen, was denn nun eigentlich die feinste Struktur von Raum und Zeit sein könnte, stehen vor einer ähnlichen Situation: Der Hintergrund, von dem sie zu abstrahieren wünschen, ist auf keinen Fall gequantelt, denn er ist

Das Problem, vor dem die Forscher dann stehen, besteht darin, ein Modell physikalischer Realität zu finden, welches


Die Definition im ersten Teil dieser Seite ist als Versuch zu sehen, den Begriff der N-Dimensionalität hintergrund-unabhängig zu formulieren. Erst so kann er dann auch auf Räume angewandt werden, in deren Natur es (möglicherweise) nicht liegt, gewisse algebraische Operatoren zu unterstützen: Addition, Skalarmultiplikation und was da sonst noch aus rein mathematischer Sicht denkbar erscheinen mag.



Naheliegende Missverständnisse zu vermeiden sei gesagt:

Die Tatsache, dass ich oben als Beispiel die Raumzeit gewählt habe, darf nicht so verstanden werden, dass sich meine Definition ausschließlich auf Räume im Sinne der Umgangssprache bezieht, auf eine Welt von Konzepten also, in der Abstände und Entfernungen eine Rolle spielen. Sie ist vielmehr auf jede Art von Dingen anwendbar, deren Gesamt­heit man zu modellieren wünscht (soweit es sich um Dinge handelt, die ausschließlich über Zahlen quantifizierbare Aspekte haben), [B].

N-Dimensionalität wie oben definiert ist der Nachweis, dass jedes Element der erforschten Gesamtheit von Dingen N Aspekte hat derart, dass keiner seinem Wert nach durch die Werte der jeweils anderen schon eindeutig bestimmt ist.

Man kann es auch so sagen:

Dieses nicht mehr weiter reduzierbare abstrakte Konzept von Dimensionalität (a-Dim) hat wenigstens zwei interessante Spezialfälle:


Wo zwei oder mehr Personen speziell über die Dimension der Raumzeit diskutieren, sollten sie vorher klargestellt haben, über welche Art von Dimension sie sich unterhalten wollen. Es gibt zwei solcher Arten:


Den durch mich oben aufgezeigten Weg, N-Dimensionalität zu beweisen (oder als Forscher wenigstens nach unten hin abzuschätzen), kann man für die k-Dim eben­so wie für die p-Dim gehen. Man sollte sich aber stets darüber im Klaren sein, dass man im einen Fall über die Struktur eines Naturgesetzes spricht, im anderen Fall aber über die Struktur einer Welt, die diesem Gesetz gehorcht.

k-Dim und p-Dim brauchen daher keineswegs gleich zu sein.


Stringtheorie ist der erste Ansatz, der nahelegt, dass es eine sehr große Zahl von Welten geben könnte, die ein und demselben Naturgesetz gehorchen, sich aber dennoch stark unter­scheiden — und das einzig und allein in Abhängigkeit der Werte von Gravitationskonstante und Kopplungsparameter. Hätten die Stringtheoretiker recht, würde das bedeuten, dass die konzeptuelle Dimension jeder Welt einfach nur 2 wäre (und die der M-Theorie sogar 0).

In Kapitel 12 seines Buches Die Zukunft der Physik stellt Lee Smolin 2006 fest, dass es bisher keinen all­gemein anerkannten Vorschlag gibt, der die Grundprinzipien der Stringtheorie spezifizieren würde oder der vorschlüge, wie die Hauptgleichungen der M-Theorie auszusehen hätten. Schlimmer noch, er sagt: "Es gibt noch nicht einmal einen Beweis dafür, dass es eine so vollständige Formulierung überhaupt gibt".

In meinen Augen ist das nichts anders als die Aussage, dass es dringend notwendig wäre, sich zunächst weit mehr als bisher um ein Verständnis der konzeptuellen Dimension der Stringtheorie zu bemühen in dem Sinne, dass man die Existenz einer genauen Definition der M-Theorie nicht einfach vermutet, sondern gleichzeitig auch Argumente für oder gegen diese Vermutung zu sammeln versucht. Es gibt durchaus Versuche, dies zu tun:

Im letzten Kapitel seines Buches "The Fabric of the Cosmos" geht Brian Greene darauf ein, inwieweit Raum und Zeit nur gedankliche Hilfskonstruktion sein könnten. Er diskutiert mehrere Beobachtungen, die uns das nahelegen, und kommt dann zum Schluss (Zitat von Seite 485): "… More and more, these clues point toward the conclusion that the form of spacetime is an adorning detail that varies from one formulation of a physical theory to the next, rather than being a fundamental element of reality. Much as the number of letters, syllables, and vowels in the word cat differ from those in gato, its Spanish translation, the form of spacetime — its shape, its size, and even the number of its dimensions — also changes in translation."

Sollte sich das als wahr erweisen, würde die Welt, in der wir leben, gar keine eindeutig bestimmte, real existierende Dimension haben (sondern nur konzeptuelle Dimensionen aus Sicht derer, die versuchen, sie zu verstehen).


Konzeptuelle Dimension richtig zu erkennen ist schwierig

Konzeptuelle Dimension zu bestimmen ist i.A. nur dort einfach, wo für die betrachtete Konzeptwelt eine allgemein anerkannte mathematische Formulierung vorliegt (nur solche Formulierungen nämlich sind absolut präzise). So ist z.B. völlig klar, dass die Begriffswelt

Rechtecke ( { Länge, Breite } )


die konzeptuelle Dimension 2 hat — und das, obgleich man sie auch über andere Eigenschaftspaare beschreibbar machen könnte, etwa als

Rechtecke ( { Länge, Umfang } )
oder
Rechtecke ( { Fläche, Breite } )
.

In Konzeptwelten, die (vorerst oder ganz grundsätzlich) weniger eindeutig definierbar sind, macht das Nachdenken über konzeptuelle Dimensionen vor allem deswegen Sinn, weil man dadurch die betrachteten Begriffe besser zu verstehen lernt.

Hier ein Beispiel, dies zu verdeutlichen:

Nach Smolins Ansicht [Seite 464 seines Buches Die Zukunft der Physik] gibt es zwei Arten theoretischer Physiker: Wer denkt, jeder Physiker sei das eine oder das andere, der sieht dieses Modell als 1-dimensional und diskret.

Auch jene, denen bewusst ist, dass jeder Physiker beides in verschieden hohem Maße sein kann, können dieses Modell als 1-dimensional sehen (mit Kreativität als einziger Dimension, die dann aber sicher nicht diskret ist).

Als doch eher 2-dimensional wird das Modell erst dem bewusst, der weiß, dass Kreativität, die notwen­dig ist, in existierenden Modellen schnell Widersprüche zu entdecken (sprich: sie schneller zu finden als dadurch, dass man einfach nur alles Ausprobierbare auch wirklich ausprobiert) eine ganz andere ist als die, die notwendig ist, eine völlig neues, überhaupt nicht naheliegendes Modell zu entwickeln (so wie es Einstein gelang).

Mit anderen Worten: Das Modell Physikerfähigkeit wird mehrdimensional, sobald man unterschiedliche Physiker nicht einfach nur über eine Relation ist kreativer als vergleichen möchte, sondern hinsicht­lich verschiedener Aspekte ihrer Kreativität.

Woran aber erkennt man, dass eine bestimmte Eigenschaft zu Unrecht als nur 1-dimensional eingestuft ist? Meine Antwort darauf:

Wo es generell schwierig wird, für unterschiedliche Objekte Einigkeit darüber zu erzielen, welches von ihnen eine bestimmte Eigenschaft E in höherem Maße besitzt als das jeweils andere, sollte man das als Indiz dafür werten, dass E seiner Natur nach mehrdimensional ist. Solche Mehrdimensionalität geeignet
zu modellieren — bzw. für real existierende physikalische Objekte als gegeben oder nicht gegeben zu beweisen — kann eine sehr anspruchsvolle Aufgabe sein. [Steven Hawking ist meines Wissens nach der erste, der sich sogar die Frage nach der Entscheidbarkeit solcher Mehrdimensionalität gestellt hat: siehe Hawkings Denk­anstoß.]

Nebenbei: Smolin kritisiert die heutige Wissenschaftsbürokratie hart dahingehend, dass er sagt, ihr Modell Physikerfähigkeit ignoriere eine der beiden wichtigsten Dimensionen, die dieser Begriff haben sollte, was dann dazu führe, dass die Wissenschaft sich selbst ausbremse.

Das, so scheint mir, ist ein gutes Beispiel dafür, wie sehr es sich lohnen kann, auch Konzepte auf Mehr­dimensionalität hin abzuklopfen.

Gut illustriert wird der Begriff konzeptueller Dimension auch durch das, was Gerardus 't Hooft auf dem Seminar für Nobelpreisträger in Wien (2011) sagte: "Das Standardmodell hat zirka 30 frei adjustierbare Natur­konstan­ten. Das ergibt ein 30-dimensionales Multiversum, in dem unser Universum nur einen Punkt re­prä­sentiert."


Zum Begriff lokaler Dimension

Obgleich die Raumzeit im Sinne der Allgemeinen Relativitätstheorie 4-dimensional ist, handelt es sich hierbei dennoch nicht um einen 4-dimensionalen Vektorraum (sondern nur um eine 4-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit — um einen mathematischen Raum also, der beliebig gekrümmt sein kann obgleich jeder Punkt in ihm eine Umgebung hat, die homöomorph zu einer geeigneten Umge­bung des Nullpunktes eines 4-dimensionalen reellen normierten Vektorraums ist — des Vektorraumes, der in der Speziellen Relativitätstheorie die Raumzeit darstellt.

Mit anderen Worten: Unser bisher genauestes Modell der Raumzeit ist nur lokal ein 4-dimensionaler normierter Vektorraum. Konsequenz daraus ist, dass es kein für die ganze Raumzeit gültiges Koordina­tensystem gibt.

Da die Raumzeit zwar Modell des realen Kosmos ist, aber niemand weiß, ob dieses Modell wirklich überall gut passt, liegt die Frage nahe, ob nicht vielleicht auch die Dimension der Raumzeit nur lokal definiert sein könnte, dort i.A. den Wert 4 hat, in der Umgebung gewisser Punkte aber noch zusätzliche Freiheitsgrade aufweisen könnte.

Wenn dem so wäre,
müsste man sie als Raum mit nur lokal wohldefinierter Dimension bezeichnen.


Wie aber könnte man sich dessen Struktur dann vorstellen?

Eine Möglichkeit findet sich in [GG] diskutiert, wo man sich frägt, ob die Zeit (als das, was man erhält, wenn man alle raumbezogenen Aspekte physikalischer Objekte ignoriert) nicht vielleicht ein gerichteter Graph ist, dessen Knoten Ereignisse sind und dessen Kanten Impulse darstellen, die — von je einem Ereignis ausgesandt — den Raum durchqueren bis sie dann irgendwo mit einem anderen Impuls kolli­dieren und so im Ereignis, welches eben diese Kollision darstellt, gemeinsam enden.

Extrem unwahrscheinlich, aber dennoch möglich erscheint, dass so gelegentlich auch mehr als nur zwei Impulse kollidieren (was zumindestens die konzeptuelle Dimension einer hinreichend kleinen Umgebung eben solcher Ereignisse erhöhen würde). Dann, so müssten wir schließen, wäre die Zeit — und somit auch die Raumzeit — ein Raum, der nur lokal wohldefinierte Dimension hat.


Räume, deren Dimension keine ganze Zahl ist

In Zusammenhang mit der Theorie der Quantengeometrie hat sich ein neuer Zweig der Mathematik entwickelt: die sog. nicht-kommutative Geometrie. Sie kennt Räume, deren Dimension keine ganze Zahl mehr ist. Mehr dazu hier.

Auch Fraktalen lässt sich eine Dimension zuordnen, die nicht ganzzahlig ist. Diesen Dimensionsbegriff hat z.B. Florian Freistetter recht schön erklärt und motiviert.


Was andere denken: Brian Greene

Fragen zur wahren Natur von Raum und Zeit kommen aus wenigstens fünf völlig unterschiedlichen Richtungen:


Neben solch konstruktiven Ansätzen gibt es Beobachtungen, die Physiker einfach nur vermuten lassen, dass der Mensch die wahre Natur von Raum und Zeit noch nicht verstanden hat. Dazu zählen (siehe das letzte Kapitel von Brian Greenes Buch The Fabric of the Cosmos):


Auf Seite 485 in The Fabric of the Cosmos sagt Brian Greene: "More and more, these clues point toward the conclusion that the form of spacetime is an adorning detail that varies from one formulation of a physical theory to the next, rather than being a fundamental element of reality. Much as the number of letters, syllables, and vowels in the word cat differ from those in gato, its Spanish translation, the form of spacetime — its shape, its size, and even the number of its dimensions — also changes in translation."

Das holographische Prinzip scheint dies zu bestätigen.



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